Der gebürtige New Yorker wurde fünfmal von der Organisation World Press Photo für das beste Pressefoto des Jahres ausgezeichnet.

In seiner Jugend war Greene Mitglied der radikalen Schwarzen-Organisation Black Panthers und engagierte sich gegen den Vietnamkrieg. Unter anderem dokumentierte er mit seinen Fotos die Kriege in Tschetschenien, dem Irak, Darfur, Afghanistan, Kaschmir und dem Libanon.